[Math] Set

Set파트는 총 2~3문제 정도 출시되며 DS의 비중이 높다. 따라서 해석에 따라서 이해도와 문제의 정답률까지 좌지우지 되니 단어 정리 및 함정에 주의해야 한다.

1. Subset의 갯수

부분집합의 갯수를 파악하는 문제가 종종 출제 된다. 함정이 많고 간과하기 쉬운것들이 많으므로 정확하게 정리할것

S={a,b,c} 일때 부분집합의 갯수는 a,b,c가 모두 있을 확률과 없을 확률을 따지면
2의 n제곱으로 표현된다.

2. Range

S={1, 7, 14}의 range=14-1=13.

3. Average = sum/number of terms

4. Median = 크기순으로 나열했을때의 중간값

5. Standard Deviation
: 한 집단의 평균에서 얼만큼 산개 되어 있는지를 알수 있는 지표로, 항상 양수이다.


※ Normal Distribution

- One standard deviation 범위 : 68%
- Two standard deviation 범위 : 95%

하나의 집합 {a, b, c, d}에 대해서,

	Mean x	Median y	Range z	STD w
1) p를 더한경우	x+p	y+p	z	w
2) m를 곱한경우	mx	my	mz	mw

으로 변화한다.

[Math] Probability

1. Probability

: 경우의수, 특정 사건의 일어날 확률. 따라서, 특정경우의수/전체경우의 수로 계산 가능하다.

2. Counting case

1) permutation

어떠한 집단에 대해서 순서대로 배열하는 것.

관련 단어로는 sequence, arrange, code 등

nPr = n! / (n-r)!

2) combination

어떠한 집단에서 무작위로 뽑는 것

관련 단어로는 select, group, choose, game, handshake 등

nCr = n! / ((n-r)!*r!)

nCr = nCn-r

3. Avanced counting

1) 중복순열

a, b, c, d, e의 기본 적인 순열이 아니라 같은 element가 존재, a, a, c, d, e 혹은 a, a, b, b, b의 형태로 배열한다

ex) D. I. G. I. T 5개의 글자를 배열. I와 I는 서로 이웃하지 말아야 한다면, 경우의 수는?

>> 먼저, 5개의 글자에 대해 가능한 경우의 수는 5!이다. 그중에 I 와 I 가 서로 다른 개체이므로 순서를 고려해 첫번째 I와 두번째 I가 뒤 바뀌는 경우를 생각해야 하는데 그 경우의 수가 2!이다. 따라서, 총 경우의 수는 5! / 2!.

하지만 문제에서 I 와 I는 이웃하지 말아야 한다고 했으므로 I 와 I 가 붙는 경우의 수를 구하여 빼줘야 한다. I와 I 를 한덩어리로 묶어서 생각하면 4개의 글자를 배열하는 경우의 수이므로 4!. 

최종적으로 5! / 2! - 4!이 정답.

2) 원순열

원탁에 사람을 앉히는 케이스로 나옴. 시작지점의 위치에 따라 경우가 틀려지므로 하나의 자리가 정해진 후에 일렬로 나열하는 케이스와 다름없으므로, n!/n=(n-1)!과 같다.

ex) 5명을 원탁에 앉히는 경우의 수?

ex) 5쌍의 부부를 원탁에 배치하는 방법. 부부는 이웃해야 한다.

4. General Probability Case

단순 확률 구하는 문제로 분수의 곱셈과 덧셈으로 이루어 진다.

여사건, 배반사건 등등이 있으나 굳이 다시 되새김할필요는 없으므로 짚고 넘어가진 않음

ex) 토요일에 여행을 출발하는데, 이 사람은 비가오면 돌아옴. 비가 올 확률이 3/10인데 월요일에 돌아 올 확률은?

>> 토요일에 오지 않을 확률 * 일요일에 오지 않을 확률 * 월요일에 올 확률 = 7/10 * 7/10 * 3/10

ex) 남자 3명, 여자 3명 중에서 4명을 뽑을때, 남녀 비율이 같을 확률은?

5. Advanced Probability Case

1) 동전 던지기

ex) 동전 3번 던져서 3번 모두 같은 면이 나올 확률?

>> 앞면, 뒷면 모두 확률이 1/2이므로 앞면 연속으로 나올 확률 1/2 * 1/2 * 1/2이다. 뒷면 연속 나올 확률도 있으므로 2배를 해줘야 한다.

ex) 동전 5번 던져서 앞면이 3번, 뒷면이 2번 나올 확률은?
>> 중복 순열, 각 나올확률 1/2, aaabb로 나와야 하므로 (1/2)^5 * { 5!/(2! * 3!) }이다.

2) 순서변환

ex) A, B를 포함한 5명이 달리기를 한다.  A가 B보다 먼저 들어오는 경우의 수는 몇가지인가?

[Math] Geometry

1. Triangle

- 세각의 합이 180도
- 각은 반대편의 변을 바라보고 있다. 가장 긴놈이 가장 큰각, 작은놈이 작은 각
- 두변의 합이 나머지 한변의 크기보다 크다

- Right Triangle
: 한 내각의 크기가 90도인 삼각형을 말함

※ hypotenuse = 빗변
※ short leg = 짧은 변
※ long leg = 긴변

직각삼각형 하면 생각나는 피타고라스의 정리, 외우지 않아도 머리속에 박혀있기때문에 크게 문제될것은 없음. 다만, 특수 각도에서의 비율은 외워두면 쓸일이 많다.

<30, 60, 90 도로 이루어진 직각 삼각형의 경우>

S:H:L의 비율이 1:2:√3

<45, 45, 90 도로 이루어진 직각 삼각형의 경우>

S:H:L의 비율이 1:1:√2

- Isosceles Triangle: 두 변의 길이가 같고 그와 접해 있는 각의 크기가 같은 삼각형
- Equilateral triangle: 세변과 세각이 모두 같은 삼각형

height: √3/2
area: (√3/4) * a^2

정삼각형 내접원 외접원의 면적 비는 4:1

2. Quadrilateral

- Trapezoid (사다리꼴): one pair of opposite sides is parallel
- Parallelogram (평행사변형): opposite sides are equal >> 2쌍이 같다.
- Rhombus (마름모): all sides are equal >> diagonal이 수직이등분
- Rectangle (직사각형): all angles are 90, and opposite sides are equal
- Square (정사각형): all angles are 90, and all sides are equal

※ Area
- Trapezoid: (윗변 + 아랫변)/2 * 높이
- Rhombus: 각대각선끼리의 곱/2

3. Polygon

- Pentagon, Hexagon, Heptagon, Octagon
- 내각의 합=(n-2)*180
- Perimeter (둘레)

4. Circle

- r: radius
- ae: diameter
- ce: chord
- fg: arc

- circumference:2πr
- area: πr^2

원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의 크기의 배이다
따라서 지름에 대한 원주각은 언제나 직각. 180/2 = 90

5. 입체도형

- rectangular solid and cube

volume = x*y*z
surface area = 2(xy+yz+xz)
the longest diagonal = √x^2+y^2+z^2

보통 특정 변의 길이를 구하는 문제가 출시되며, 개념을 이해하여 문제에서 요구하는 정확한 포인트를 집어내야 한다.

- cylinder, cone, and sphere

volume = π * r^2 * h, 1/3π * r^2 * h, and 4/3π * r^3
surface area =  2π * r^2 + 2π * r, -, and 4π * r^2

[Math] Work Rate & Word Problems

"단가 X 갯수 = 총금액"
"일률 X 시간 = 일의양"
"속도 X 시간 = 거리"

끝.


이라고 할만큼 단순한 파트이다.
하지만, 이들 식을 응용하여 문제를 출제한다. 생각보다 까다로울수 있으며 보통 PS타입으로 많이 출제 된다. 문제의 정확한 해석이 없이는 맞출수 없으므로 꼼꼼히 읽고 생각을 정리하는것이 필요하다.

ex) A car travels from Mayville to Rome at an average speed of 30 miles per hour and returns immediately along the same route at an average speed of 40 miles per hour. Of the following which is closest to the average speed, in miles per hour, for the round trip?

간혹 문제에 식을 구하게끔 해주고 추가 정보를 합쳐야만 정답이 되는 경우가 있다. 절대 조심 문제 끝까지 볼것!

시간개념을 섞어서 나오는 문제도 종종 있으므로 주의할것

1hr = 60min = 3600 sec
1min = 1/60 hr
1sec = 1/3600 hr

[Math] Function & Algebra

Quadrant: 사분면

예제1) (x,y)는 몇 사분면에 위치해 있는가?

1) x + y > 0

2) x - y < 0

1) 1차 함수: y=ax+b

- a: slope(기울기), x의 변화량을 y의 변화량으로 나눈값

   (직교한 접선의 기울기는 -1/a)

- b: y-intercept, x=0 일때 y값. (cf. x-intercept, y=0일 때 x의 값)

두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 이용하여 구한다.

<Line 과 관련된 용어>

- Perpendicular

- intersect

- tangent

2) 2차 함수: y=ax^2 + bx +c

2차 함수이기 때문에 근은 두개이다. 근의 공식을 이용한 문제 풀이 많이 나옴

예제2) y=x^2 + 2qx + r, y > 0?

1) q^2 < r

2) r > 0

판별식 문제로 해결해야 함. 근의 존재 여부 자체로 판단 가능한 문제 이므로 b^2-4ac 로 접근 하면 쉽게 풀린다.

3) Function graph 를 통한 inequality의 이해

- (x+1)(x+3) < 0 : 두 점 사이

- (x+1)(x+3) > 0 : 두 점 바깥쪽

예제3) x^3 - x < 0 의 범위는 어떻게 되는가?

인수 분해 후에 0보다 작은 범위를 찾으면 되는것, 인수분해 시 x(x-1)(x+1)이 된다.

예제4) y=?

1) y = 3^x

2) y = x + 2

4) Inequality

A. 부호에 대한 정보가 주어졌을때 >> 같은 값을 양변에 곱해서 cancel

B. 부호에 대한 정보가 주어지지 않았을때 >> 한쪽으로 몰아서 풀자

예제5) If ar < br, is a < b?

1) r > a^2

2) br/ar > 1

여기서 조심해야 할것이 부등식이기 때문에 (양변이 "부등" 하기 때문에) 좌변이던 우변이던 어느 한쪽이 반대편으로 넘어가는것을 불가능하다. 부호가 정해지지 않아서 -일 경우 부등식이 뒤집히는 경우가 발생. 따라서 statement 2)의 경우는 알수 없다.

statement 1)의 경우 어떤수의 제곱보다 크다는 소리는 항상 양수임을 의미하므로 식 자체의 부호가 정해져 a와 b의 크기 비교가 가능하다.

예제6) y < 0

1) y^3 < 0

2) y^3 + y + 1 = 0

statement 1)의 경우 어떤 수의 세제곱이 0보다 작다는 소리는 음수임을 의미한다. 따라서 구분 가능. statement 2)의 경우 어떤 세 수의 합에서 0이 나왔다는 소리는 상쇄되어 그렇다는 것을 의미 1이 있음에도 0이 되었다는 것은 게다가 세제곱이 있는데도 0이 되었으면 y는 음수임이 확실.

예제7) (a+5)^4 > (b-5)^4 ?

1) a + b > 5

2) a - b > 0

부호로 결정 되는 것을 보는것. a 와 b의 상대적인 비교를 통하여 크기를 비교한다. 따라서 statement 1)에서는 둘중에 어떤것의 부호를 확정지을수가 없다. statement 2)에서도 둘중에 어떤것인지 부호를 결정하기 힘들지만 두가지 동시게 같이 놓고 보면 a와 b의 상대적 비교가 가능해지게 된다.

예제8) (2x + 3) / (x + 1) < 1

1) -4 < x < -1

2) -2 < x < 0

[Math] Fraction & Ratio

Fraction & Ratio는 business 전반에 쓰이는 가장중요한 부분으로 이 파트가 숫자 파트 다음으로 출제 문제수가 높다.

Ratio 표현방법들

What is the ratio of A to B?
What fraction (or percent) of A is B?

예제1) From 1984 to 187, the value of foreign goods consumed annually in the United States increased by what percent?

1) In 1984 the value of foreign goods consumed constituted 19.8 percent of the total value of goods consumed in the united States that year.
2) In 1987 the value of foreign goods consumed constituted 22.7 percent of the total value of goods consumed in the United States that year.

statement 1), 2) 모두 portion에 대한 얘기는 하고 있지만 정작 모수가 나와 있지 않아 판가름이 불가능 하다.

이처럼, Fraction의 개념은 %로서 계산되기 때문에 무심코 상대비교로 오답을 결정하는 경우가 많이 발생한다.

1) 비교형태 질문

A : B = 2 : 3
각각의 값들을 미지수로 결정해놓고 푸는것이 쉽다

Ygonny's stamp collection consists of stamps from Canada, the United States, and Europe in the ratio of 2 to 5 to 8, respectively. If Ygonny has 600 stamps from the United States, how many stamps does he have in his collection?

(a) 960     (b) 1,200    (c) 1,500    (d) 1,800   (e) 3,000

각각을 미지수로 대체하여 풀어보면 2t, 5t, 8t 로 치환하여 풀수 있다. 따라서 이 문제는 총 가지고 있는 우표의 수를 구하는 것이므로, 2t+5t+8t 를 구하는 문제이다. 여기서 5t=600 으로 제시되었으므로 단순 계산으로 5t * 3 = 15t이므로 600 * 3 = 1800으로 쉽게 구할수 있다.

2) Increase & Decrease

A가 x% 증가 >> A * (1+0.0x)
A가 y% 감소 >> A * (1-0.0x)

<Simple interest>

S + I = S + (S * N * 0.0r), 여기서 S는 원금, I는 이자, N은 횟수, r은 이율

<Compound interest>

S + I = S * (1 + 0.0r)^n, 여기서 S는 원금, I는 이자, n은 횟수, r은 이율

예제2) 10,000 저금, annual interest rate 9%, compounded quarterly, n년 후?

Quarterly >> 10,000 * (1+0.0225)^n
Monthly >> 10,000 * (1+0.01333)^n

주의해야 할점은, 문제에서는 annual interest rate으로 제시해 주었으나 질문 자체는 quarterly나 monthly 가 있다는 사실이다.

예제3) $10,000 저금, annual compound interest rate은 몇% 인가?

1) 2년후의 interest 금액이 $1,000
2) 2년후의 interest 금액 - 1 년후의 interest 금액 = $100

compound rate 공식에 의해, 여기서 우리가 필요한 정보는 횟수와 interest 금액이 필요하다. statement 1), 2) 에 횟수 (=연수), 금액의 정보가 모두 제시되어 있으므로 각각으로 문제 풀이가 가능하다.

3) SOL II

서로 다른 두 그룹의 전체 평균값을 구하는 문제.
예를들어, A그룹의 평균은 70, B그룹의 평균은 100 일때, 전체 평균은? 의 식으로 문제 출제.
각 그룹의 인원 비례로 문제 풀이.

예제4) 소금물 100g, 농도 20%일때, 농도 50%가 되려면 소금 몇 g 필요한가?

위에서 방금, 문제 풀이시에는 각 그룹간의 비례로 풀이한다고 하였는데 예제4)에서는 그룹이 하나밖에 없어보인다. 여기서 잘 생각해야 할 부분이 소금물과 소금이 섞여 소금물의 농도를 올리므로 그룹의 설정을 소금물과 소금 두가지로 분류하여 생각하면 편하다. 소금물의 양과 농도, 그리고 소금의 농도 (=100%)를 알기 때문에 소금의 양을 구할수 있다.

20%의 소금물 가 50%까지 변하는 정도가 30%이고, 소금(100%)이 50%의 소금물이 되려면 50%가 변하는 정도이기 때문에 3:5의 비율로 변한다고 생각할수 있다. 그러므로 5:3=100:x의 공식으로 풀이하면 60g이 정답.

예제5) A team won 40 percent of the 15games it has already played. If the team were to win 75 percent of its remaining games, it will have won 60 percent of all its games. How many remaining games are there?

(a) 12    (b) 20    (c) 24    (d) 30    (e) 45

예제6) 96년 대비 truck의 숫자는 7% 증가하였고, 96년대비 car의 숫자 11%는 감소하였다. 96년대비 truck+car의 전체 숫자는 1%증가 하였다면, 96년 truck : car의 대수 비율은?

예제7) Two groups of students, X and Y, took the same test. If the average (arithmetic mean) score form group X was 68.2, what was the average score for the combined group?

1) The average score for group Y was 73.5
2) Group X had 20 more students than group Y

예제 7)은 문제에서 주어진 것이 X의 평균 점수, 따라서 필요한 정보는 2가지 각 그룹의 인원수, Y의 평균이다. 하지만 statement 1), 2) 가 필요한 정보 2가지를 제공하지 않는다. statement 2)의 경우 숫자 비교를 하고 있지만 두 그룹의 비율이나 정확한 숫자가 있지 않으므로 구할수 없다.

4) Venn Diagram

예제8) A 중에서 75%가 B에 속해 있고, B 중에서 60%가 A에 속해 있다. Both A and B는 전체 중에 3%라고 한다면, neither A nor B는 전체의 몇 %인가?

A의 인원 전체의 75% 가 B에 속해 있다면 순수 A는 25%
B의 인원 전체의 60% 가 A에 속해 있다면 순수 B는 40%

Both A and B 가 3%인 정보로 A 와 B 의 전체중 portion을 구할수 있다.

A의 경우, 75%=3% 일때 25%=?; B의 경우, 60%=3% 일때 40%=? 로 각각 1%, 2%로 쉽게 구해진다. 하지만 질문은 neither A nor B이므로 100%-(1%+2%+3%)=94%가 정답이다.

예제9) 총 100명의 사람들 중에서 A가 60명, B가 50명, C가 40명이다. 세 개를 모두 하는 사람의 숫자가 5명이고, 아무것도 하지 않는 사람의 숫자도 5명이라면, 두 개만 하는 사람들의 숫자는 몇 명인가?

총 100명 중 아무것도 하지 않는 사람 5명을 빼면 95명. A+B+C에서 겹치는 사람의 수를 빼주면 되는 문제이다. 개념적으로 A + B + C + 2 II + III 이 된다. 그러므로, 60+50+40-x-5=95 이므로 x=50명 이다.

예제10) 전체 60명의 사람들 중에서 female 이 40%이다. Female professor 가 male student의 두배이고, male professor가 30명이라고 한다면, female student는 몇명인가?

위의 문제는 매트릭스로 쉽게 구할수 있다.

	Female	Male
Prof.	2x	30
Stu.	?	x
Total	24	36

현재까지 주어진 정보만으로 작성한 결과 쉽게 구해 진다.

요약하면, 

1. 비교형태에서는 T로 치환하여 풀것

2. 단리, 복리는 공식 외워둘것

3. 평균값 구할때 비례를 사용하여 해결할것

4. Venn diagram 문제에서는 개념 이해 잘 한 후에 정리하도록 할것

[Math] Number

기본이지만 제일 어려운것. 출제빈도수도 가장 높다. 정확학 개념접근으로 답을 도출할수 있도록 연습하는것이 최고!

1) 수의 체계

real number (n^2 >= 0)

Rational number
Irrational number