예제1) (x,y)는 몇 사분면에 위치해 있는가?
1) x + y > 0
2) x - y < 0
1) 1차 함수: y=ax+b
- a: slope(기울기), x의 변화량을 y의 변화량으로 나눈값
(직교한 접선의 기울기는 -1/a)
- b: y-intercept, x=0 일때 y값. (cf. x-intercept, y=0일 때 x의 값)
두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 이용하여 구한다.
<Line 과 관련된 용어>
- Perpendicular
- intersect
- tangent
2) 2차 함수: y=ax^2 + bx +c
2차 함수이기 때문에 근은 두개이다. 근의 공식을 이용한 문제 풀이 많이 나옴
예제2) y=x^2 + 2qx + r, y > 0?
1) q^2 < r
2) r > 0
판별식 문제로 해결해야 함. 근의 존재 여부 자체로 판단 가능한 문제 이므로 b^2-4ac 로 접근 하면 쉽게 풀린다.
3) Function graph 를 통한 inequality의 이해
- (x+1)(x+3) < 0 : 두 점 사이
- (x+1)(x+3) > 0 : 두 점 바깥쪽
예제3) x^3 - x < 0 의 범위는 어떻게 되는가?
인수 분해 후에 0보다 작은 범위를 찾으면 되는것, 인수분해 시 x(x-1)(x+1)이 된다.
예제4) y=?
1) y = 3^x
2) y = x + 2
4) Inequality
A. 부호에 대한 정보가 주어졌을때 >> 같은 값을 양변에 곱해서 cancel
B. 부호에 대한 정보가 주어지지 않았을때 >> 한쪽으로 몰아서 풀자
예제5) If ar < br, is a < b?
1) r > a^2
2) br/ar > 1
여기서 조심해야 할것이 부등식이기 때문에 (양변이 "부등" 하기 때문에) 좌변이던 우변이던 어느 한쪽이 반대편으로 넘어가는것을 불가능하다. 부호가 정해지지 않아서 -일 경우 부등식이 뒤집히는 경우가 발생. 따라서 statement 2)의 경우는 알수 없다.
statement 1)의 경우 어떤수의 제곱보다 크다는 소리는 항상 양수임을 의미하므로 식 자체의 부호가 정해져 a와 b의 크기 비교가 가능하다.
예제6) y < 0
1) y^3 < 0
2) y^3 + y + 1 = 0
statement 1)의 경우 어떤 수의 세제곱이 0보다 작다는 소리는 음수임을 의미한다. 따라서 구분 가능. statement 2)의 경우 어떤 세 수의 합에서 0이 나왔다는 소리는 상쇄되어 그렇다는 것을 의미 1이 있음에도 0이 되었다는 것은 게다가 세제곱이 있는데도 0이 되었으면 y는 음수임이 확실.
예제7) (a+5)^4 > (b-5)^4 ?
1) a + b > 5
2) a - b > 0
부호로 결정 되는 것을 보는것. a 와 b의 상대적인 비교를 통하여 크기를 비교한다. 따라서 statement 1)에서는 둘중에 어떤것의 부호를 확정지을수가 없다. statement 2)에서도 둘중에 어떤것인지 부호를 결정하기 힘들지만 두가지 동시게 같이 놓고 보면 a와 b의 상대적 비교가 가능해지게 된다.
예제8) (2x + 3) / (x + 1) < 1
1) -4 < x < -1
2) -2 < x < 0
